黄忠养花网
黄忠养花网
当前位置:主页 > 百科 > 财经资讯 > 正文

质数序列(既是质数又是合数的数)

01-12 财经资讯

核心提示:质数序列(既是质数又是合数的数):16。机器之心Pro选自广达杂志。作者:Erica Klarreich机心编译编辑:魔王在证明著名的鄂尔多斯等差数列猜想的道路上,可能在数学上又前进了一步。鄂尔多斯算术差

53s7v8ubxpe4ghz3yjip9jj4to8b3riet8o0x3y3.webp

质数序列(既是质数又是合数的数):16。机器之心专业版

选自广达杂志

作者:Erica Klarreich

机器心脏编译

编辑:恶魔

在证明著名的鄂尔多斯-等差数列猜想的道路上,数学圈可能又前进了一步。

关于等差数列级数的鄂尔多斯猜想,也称为Erds-Turan猜想,是由匈牙利数学家、沃尔夫数学奖获得者erdos帕尔和帕尔图兰恩共同提出的关于调和发散数列的等差数列的一个数论猜想

这个猜想的内容是:

鄂尔多斯猜想。(来源:)

2004年,陶哲轩和本格林证明了这个猜想的弱化版本。

最近,托马斯布鲁姆(Thomas Bloom)和奥洛夫西萨克(Olof Sisask)两位数学家解决了这个著名猜想的第一部分,即整数的无穷序列必须包含长度至少为三的等差数列(如26,29,32)。

鄂尔多斯一生提出了成千上万个问题,但他最喜欢的问题是哪个数列包含“等差数列”。

剑桥大学数学教授蒂莫西高尔斯(Timothy Gowers)说:“我想很多人把这个猜想视为鄂尔多斯的第一号难题。他在1998年获得了菲尔兹奖,并花了很多时间试图证明这个猜想。“令人高兴的是,一些加法组合研究人员有兴趣探索这一猜想。」

通常,序列越密,越有可能包含等差数列。所以鄂尔多斯提出了一个简单的序列密度检验:求序列中所有数的倒数和。如果数字多到可以倒数发散,鄂尔多斯猜测数列应该包含任意长度的等差数列,比如等差三倍、四倍等。

最近,剑桥大学的托马斯布鲁姆和斯德哥尔摩大学的奥洛夫西萨克发表论文,证明了这个猜想适用于算术三元组(如5,7,9)。他们证明了只要一个数列中所有元素的倒数和散度,就一定包含无穷个算术三元组(即三个数的算术级数)。

托马斯布鲁姆和奥洛夫西萨克

“这个发现是这么多年来的一个标志性事件,这是一个大事件。加州理工学院的Nets Katz教授说。

一组素数的倒数和是发散的。20世纪30年代,Johannes van der Corput利用素数的特殊结构,证明了它们确实包含无限个算术三元组(如17,23,29)。

而Bloom和Sisask的新发现,意味着在证明素数序列包含无限三元组时,不需要掌握素数的唯一结构。你只需要知道,有足够多的质数使它们互逆发散,这是几个世纪前数学家发现的。

牛津大学数学研究所高级研究员汤姆桑德斯在电子邮件中说:“布鲁姆和西萨克的研究结果表明,即使素数具有与过去完全不同的结构,它们仍然可以保证无穷多个等差数列。」

Bloom和Sisask发表的论文长达77页,需要数学家花一些时间和精力仔细阅读和审阅。然而,许多人乐观地认为他们的证明是正确的。“这个证明真的很体面。”Nets Katz说,早期的工作为这一结果奠定了基础。

Bloom和Sisask定理表明,只要序列足够密集,就会出现某些模式。这一发现符合莎拉佩卢斯在牛津大学数学领域的基本口号:“完全无序是不可能的。”(这句话最早出自数学家西奥多莫茨基。)

覆盖“密度”

只要级数足够稀疏,让它不含等差数列是很简单的。例如,对于序列1,10,100,1,000,10,000,…(其倒数和为1.11111…)。这些数字的密度下降得如此之快,以至于你永远找不到长度为3的等差数列。

你可能会想,有没有不包含等差数列的非常密集的剧集?

可以从头开始试,让数列中的所有数字都不能形成等差数列。最后,序列1,2,4,5,10,11,13,14,…乍一看似乎密密麻麻,但是随着数字越来越大,数列就变得非常稀疏。例如,当它达到20位数时,只有大约0.00009%的数字出现在数列中。1946年,Felix Behrend提出了更密集的例子,但它们很快变得稀疏。当数字达到20位数时,只有0.001%的数字出现在序列中。

现在让我们看看另一个极端。如果你的数列包含了几乎所有的整数,那它一定包含了等差数列。

但是在这两个极端之间是一个广阔而神秘的中间地带。数列的稀疏性还能在多大程度上保证数集包含等差数列?

鄂尔多斯提供了一个可能的答案。他认为倒数和可以用来揭示“密度”:N个数最多的序列的密度至少接近1/N位数。也就是说,数列变得更稀疏是没问题的,只要稀疏的速度足够慢:如果数列中最大的数是5位数,密度至少是1/5;如果序列中有20位,则密度至少为1/20,以此类推。

当这个密度条件满足时,鄂尔多斯猜测级数应该包含任意长度的无穷等差数列。

1991年6月,鄂尔多斯在剑桥大学任教。

1953年,克劳斯罗斯开始证明鄂尔多斯的等差数列猜想。三年后,在一项帮助他赢得1958年菲尔兹奖的工作中,他构建了一个密度函数,可以确保算术三元组的存在。它的密度并没有鄂尔多斯猜想的那么低,但是随着级数越来越长,数值趋近于0。罗斯定理的意思是,一个数列的密度最终会低于1%,然后低于0.1%,然后低于0.01%……只要密度低于这些阈值的速度足够慢,这个数列就一定包含等差数列。

Roth的方法依赖于这样一个事实,即大多数具有其所选密度的数列“想要”包含等差数列,并且它们包含足够多的不同数字对,并且这些数字对的中心值也属于该数列,这样就出现了算术三元组。

棘手的部分是如何将这个属性从“most”推广到“all”系列,即使那些结构试图避免等差数列。

基于一个高度结构化的序列,Roth想到用傅里叶变换来绘制其“频谱”,从而提取出序列结构。这可以检测序列中的强重复模式,也是x光片和射电频谱底层技术涉及的数学知识。

有些频率比其他频率显得更强烈,这些变化突出了模式本身。例如,强频率可能表示序列包含更多奇数。如果是这样,你只需要把重点放在奇数上,这样你就可以得到比一开始更密集的集合。罗斯证明,经过有限的蒸馏,可以得到一组足够密集的数,它们包含了等差数列。

在过去的半个世纪里,Roth的方法激发了解析数论领域的许多发展。斯坦福大学数学教授雅各布福克斯(Jacob Fox)表示,“这些都是非常有影响力的想法。」

从纸牌游戏中寻找等差数列

Roth的观点只对开始时密集的数据集有效,否则反复蒸馏只会使数据集衰减。其他数学家也逐渐找到了一些方法,可以从Roth的方法中得到更多,但无法解决鄂尔多斯等差数列猜想中的密度问题。福克斯说,“这似乎是一个难以跨越的坎。」

2011年,Katz和Michael Bateman发现了一种在更简单的设定下克服上述障碍的方法:在设定的卡牌游戏中,寻找符合三和弦模式的卡牌。他们发现有一种准确的方法可以将匹配的集合三元组卡片视为等差数列,就像在整数数列中一样,你可以问放下卡片的哪一部分,以确保至少找到一个三元组。

这个问题是整数序列对应问题的简化模型,所以数学家们希望贝特曼和卡茨的发现能够为证明鄂尔多斯-等差数列猜想提供一个突破口,特别是在结合其他近期的发展之后。

贝特曼和卡茨的论文发表后不久,高尔斯就推出了一个大型在线合作项目——Polymath,进行这样的尝试。

然而,这个项目很快就搁浅了。“这需要很大的技术能力,这个项目比较适合一两个长期坚持的人。高尔斯说。

幸运的是,Bloom和Sisask出现并尝试了。起初,他们被鄂尔多斯的科技之美和等差数列的猜想所吸引,开始分别思考。“这是我首先研究的问题之一。西萨克说。

2014年,布鲁姆和西萨克联手。2016年,他们认为他们有了解决方案。布鲁姆甚至在一次讲座中宣布了这一结果,但后来发现其中一些论点站不住脚。于是他们继续努力,深入探索贝特曼和卡茨方法的内在原理,最终提出了新的观点,可以把他们的观点从集卡转移到整数范畴。

卡茨说,两人发表的新论文似乎“万事俱备”。“我不相信他们以前的断言,但我相信这次的结果。」

福克斯认为布鲁姆和西萨克的工作是“一项伟大的成就”。他和其他数学家渴望探索这篇新论文中的技术是否可以应用于其他问题。“我认为这种方法将产生巨大的影响,”福克斯说。

当然,这项工作还远远没有完全证明鄂尔多斯和等差数列的猜想。Bloom和Sisask只证明了算术三元组的部分,而没有证明更长的序列。

即使已经解决了算术三重问题,很多数学家仍然把鄂尔多斯等差数列的猜想视为“红鲱鱼”(即为了分散注意力而提出的无关事实或论点)。很难证明鄂尔多斯的密度能保证算术三重的存在。数学家们怀疑,使这个保证无效的密度可能更低,它可能只比Behrend为避免等差数列而构造的数集的密度略高。

“我们还没有完全解决这个猜想,但我们刚刚对它有了一点了解。”布鲁姆说。

福克斯表示,布鲁姆和西萨克可能已经尽了最大努力来推进目前的方法。“我们需要真正的新工具,能够更好地挖掘新事物。”福克斯说。但他也说:“现在可能还不是故事的结尾。」

版权保护: 本文由 主页 原创,转载请保留链接:质数序列(既是质数又是合数的数) http://huangzhongzhen.com/caijingzixun/17786.html


?

友情链接: